正四面体的外接球与内切球的半径之比 正四面体的外接球

1、设正四面体为P-ABC，棱长为1，作高PH。

2、H是正△ABC的外心(内、重、垂)，连结AH交BC于D，AD=√3/2。

3、AH=2AD/3=√3/3，(重心性质)，PH=√(PA^2-AH^2)=√6/3。

4、设外接球心为O，外接球半径为R，OH^2+AH^2=R^2。

5、(√6/3-R)^2+(√3/3)^2=R^2,∴R=√6/4，设内切球心为O1，内切球半径为r,连结O1P、O1A、O1B、O1C。

6、正四面体分成4个小棱锥，其高为内切球的半径r,设每个正三角形面积为S，则总体积V=4*(r*S/3)=4rS/3,VP-ABC=S*PH/3=(√6/3)S/3=√6S/9。

7、4rS/3=√6S/9，r=√6/12，R+r=√6/4+√6/12)=√6/3。

8、PH=√6/3，∴PH=R+r,且外接球心和内切球心为同一心。

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